Question

14．若f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx（a≠0）在区间[1，2]上是增函数，则实数a的最小值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -2

Answer 1

分析 因为当函数为增函数时，导数大于0，若f（x）在区间[1，2]上是增函数，则f（x）在区间[1，2]上恒大于0，所以只需求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a为何值时，在区间[1，2]上恒大于0即可

解答 解：由已知，得f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x-lnx，且x＞0，
则f′（x）=ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$，
若a=0，由f'（x）＞0得x＞$\frac{1}{2}$，显然符合题意，
若a≠0，∵函数f（x）区间[1，2]是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0对x∈[1，2]恒成立，
即 a≥$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1恒成立   故a≥[（$\frac{1}{x}$-1）²-1]_max，
而当x=2时，函数（$\frac{1}{x}$-1）²-1的最大值为-$\frac{3}{4}$，
∴实数a的最小值是-$\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及函数单调性，属于常规题，必须掌握．