Question

9．设函数f（x）=|x+$\frac{4}{a}$|+|x-a|（a＞0）．
（1）证明：f（x）≥4；
（2）若f（3）＜5，实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式，即可证明；
（2）若f（3）＜5，即|3+$\frac{4}{a}$|+|3-a|＜5，进而$\frac{4}{a}$-2＜a-3＜2-$\frac{4}{a}$，即可求出实数a的取值范围．

解答 （1）证明：f（x）=|x+$\frac{4}{a}$|+|x-a|≥|$\frac{4}{a}$+a|=|$\frac{4}{a}$|+|a|≥2$\sqrt{|\frac{4}{a}||a|}$=4；
（2）解：若f（3）＜5，即|3+$\frac{4}{a}$|+|3-a|＜5，
∵a＞0，∴3+$\frac{4}{a}$+|3-a|＜5，
∴|3-a|＜2-$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{4}{a}$-2＜a-3＜2-$\frac{4}{a}$，
∴1＜a＜4．

点评 本题考查绝对值三角不等式，基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．