Question

19．如图，60°的二面角棱上有A′，B′两点，直线AA′，BB′分别在这个二面角的半平面内，且都垂直于A′B′，已知A′B′=3，AA′=3，BB′=5，则AB的长度为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知得${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}B}$）²=${\overrightarrow{A{A}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{B}^{'}B}}^{2}$+2|$\overrightarrow{A{A}^{'}}$|×|$\overrightarrow{{B}^{'}B}$|×cos120°，由此能求出AB的长度．

解答 解：∵60°的二面角棱上有A′，B′两点，
直线AA′，BB′分别在这个二面角的半平面内，且都垂直于A′B′，
A′B′=3，AA′=3，BB′=5，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（$\overrightarrow{A{A}^{'}}+\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}B}$）²=${\overrightarrow{A{A}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}}^{2}+{\overrightarrow{{B}^{'}B}}^{2}$+2|$\overrightarrow{A{A}^{'}}$|×|$\overrightarrow{{B}^{'}B}$|×cos120°
=9+9+25-2×$3×5×\frac{1}{2}$=28，
∴AB的长度为|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查空间中两点间距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．