Question

7．某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前100名学生，并对这100名学生按成绩分组（从低到高依次分为第1组、第2组、第3组、第4组、第5组），其频率分布直方图如图：现Q大学决定在第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，且本次面试中有B、C、D三位考官．
（1）若规定至少获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，求甲同学面试成功的概率；
（2）若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，设第4组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解；
（2）由图得到每一组学生的人数，由分层抽样求得第三、四、五组分别抽取的人数，可得ξ的取值情况，求出概率，得到分布列，再由期望公式求得期望．

解答 解：（1）设事件A=甲同学测试成功．
则P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{7}{24}$；
（2）∵总人数为100人，由直方图可知，第一组人数为15人，第二组人数为25人，第三组人数为30人，
第四组人数为20人，第五组人数为10人，第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，
则第三、四、五组分别抽取3人、2人、1人，
由题意得ξ=0、1、2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{5}$，P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$．
分布列为

ξ	0	1	2
p	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Eξ=0×$\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生读取图表的能力，是中档题．