Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为平面向量，且$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{b}$=（x，y），|$\overrightarrow{b}$|=4．
（1）若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，求|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|及|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|；
（2）若$\overrightarrow{b}$是与$\overrightarrow{a}$平行的向量，求$\overrightarrow{b}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和向量的模计算即可，
（2）根据向量的平行和向量的模得到关于x，y的方程组，解得即可．

解答 解：（1）易知$|\overrightarrow a|=\sqrt{3}$，$|2\overrightarrow a+\overrightarrow b{|^2}=4{\overrightarrow a^2}+4\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}$
=$4×3+4×\sqrt{3}×4×cos{150°}+16$=12-24+16=4，
所以|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2，
|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=3-4×4×$\sqrt{3}$×cos150°+4×16=91，
所以|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{91}$                    
（2）由题意得：$\sqrt{2}x-y=0$，且x²+y²=16，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{4\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{4\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$              
所以$\overrightarrow b=（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$或$\overrightarrow b=（-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{4\sqrt{6}}}{3}）$

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，以及向量平行，属于中档题．