Question

2．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂，a₃，a₅成等比数列，a₁+a₂=1，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足{b_n}=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+3}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由题意、等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程组，求出a₁和d，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+3}}$，利用裂项相消法数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₂，a₃，a₅成等比数列，a₁+a₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{（{a}_{1}+2d）}^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+4d）}\\{2{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，
又d≠0，解得d=1，a₁=0，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
（Ⅱ）由（I）得a_n=n-1，则b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+3}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$ 
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）]
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，等比中项的性质，以及裂项相消法求数列的和，考查方程思想，化简、变形能力．