Question

11．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，$g（x）=\frac{f（x）}{x}（x≠0）$
（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；
（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过判断导函数的符号，证明出函数的单调性即可；
（Ⅲ）x＞0时f（x）＞0等价于$\frac{f（x）}{x}＞0$，即g（x）＞g（1），x＜0时f（x）＞0等价于$\frac{f（x）}{x}＜0$，即g（x）＞g（-1），解出即可．

解答 解：（I）因为f（x）（x∈R）是奇函数，
所以$g（-x）=\frac{f（-x）}{-x}=\frac{-f（x）}{-x}=g（x），x≠0$，
所以g（x）是偶函数                                          …（4分）
（II）因为当x＞0时xf'（x）-f（x）＜0，
所以$g'（x）=\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＜0$，
所以g（x）在（0，+∞）上为减函数                              …（8分）
（III）由（I）f（-1）=0，g（-1）=g（1）=0，…（10分）
x＞0时f（x）＞0等价于$\frac{f（x）}{x}＞0$，即g（x）＞g（1），
由（II）所以0＜x＜1，…（12分）
x＜0时f（x）＞0等价于$\frac{f（x）}{x}＜0$，即g（x）＞g（-1），
由（I）（ II）g（x）在（-∞，0）上为增函数，
所以x＜-1．…（14分）
综上不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（0，1）…（16分）

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题．