Question

20．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，点$B（0，\sqrt{3}）$为短轴的一个端点，∠OF₂B=60°．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=$\sqrt{3}$，运用直角三角形正弦函数可得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₁，y₁），M（2，y₀），求出A，B坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，求得直线m的方程，由恒过定点方法，即可得证．

解答 解：（1）由条件∠OF₂B=60°，
可得|BF₂|=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
则$a=2，b=\sqrt{3}$，
故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（ 2 ）证明：设P（x₁，y₁），M（2，y₀），直线l：x=2，
A（-2，0），由A，P，M共线可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{0}}{4}$，
直线BP的斜率为k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，直线m的斜率为k_m=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
则直线m的方程为y-y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2），
即y=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2）+y₀=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-2）+$\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$[（x-2）+$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}$]
=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$[（x-2）+$\frac{12-3{{x}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}$]=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x+1），
当x=-1时，y=0．
所以直线m过定点（-1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，以及直线恒过定点的求法，注意运用直线方程和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．