Question

8．设f（x）=ax²-bx+6lnx+15，其中a∈R，曲线y=f（x）在x=1和x=6处的切线都与直线$y=-\frac{1}{2}x+3$垂直．
（1）确定a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）首先直接对f（x）求导，利用f'（1）=2，f'（6）=2列出方程组可求出a与b值；
（2）直接利用导函数求出零点判断原函数的单调性即可，从而可求出最值；

解答 解：（I）因f（x）=ax²-bx+6lnx+15，
所以f'（x）=2ax-b+$\frac{6}{x}$，
由题意得，f'（1）=2，f'（6）=2得$\left\{\begin{array}{l}{2a-b+6=2}\\{12a-b+1=2}\end{array}\right.$，
故a=$\frac{1}{2}$，b=5．
（II）由（1）知，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-5x+6lnx+15（x＞0），
f′（x）=x-5+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$．
令f′（x）=0，解得x₁=2，x₂=3．
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数；
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数．
由此可知f（x）在x=2处取得极大值f（2）=7+6ln 2，
在x=3处取得极小值f（3）=$\frac{9}{2}$+6ln 3．

点评 本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性与求最值，以及导数定义的理解，属中等题．