Question

17．在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，PA=PC=2，AC中点为M，cos∠PMB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{3π}{2}$
• B． 2π
• C． 6π
• D． $\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 利用条件，判断AB，PB，BC互相垂直，可得三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．

解答 解：由题意，AC=2，BM=1，PM=$\sqrt{3}$，
∵cos∠PMB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴PB=$\sqrt{2}$，
∴AB，PB，BC互相垂直，
∴三棱锥的外接球的直径为$\sqrt{6}$，
∴三棱锥的外接球的表面积为$4π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=6π，
故选C．

点评 本题考查三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出三棱锥的外接球的直径是关键．