Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，T_n为{b_n}的前n项和，若对任意的n∈N^•，不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，则实数λ的取值范围为（-∞，-44）．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，先求数列{a_n}的通项公式；然后由b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，裂项相消法求得T_n，
①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜3n+$\frac{12}{n}$+37恒成立；
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜3n-$\frac{12}{n}$-35恒成立．由此能求了λ的取值范围．

解答 解：由S_n=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$，知
a_n=S_n+1-S_n=$\frac{3}{2}$（n+1）²-$\frac{n+1}{2}$-（$\frac{3}{2}$n²-$\frac{n}{2}$）=3n-2，
即a_n=3n-2，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）．
①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即λT_n＜n+12恒成立，所以λ＜3n+$\frac{12}{n}$+37．
因为3n+$\frac{12}{n}$≥12（当且仅当n=2时取“=”），
所以3n+$\frac{12}{n}$+37≥49，
所以λ＜49，
解得λ＜49．
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+12（-1）ⁿ恒成立，即λT_n＜n-12恒成立，所以λ＜3n-$\frac{12}{n}$-35
∵3n-$\frac{12}{n}$随n增大而增大，
∴n=1时，3n-$\frac{12}{n}$取得最小值-9．
∴λ＜-44．
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-44．
故答案是：（-∞，-44）．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．