Question

2．f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+alnx，（x＞0，0＜a＜e）}\\{cosx，（x≤0）}\end{array}}$，则y=f[f（x）]的零点有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 无穷多个

Answer 1

分析 利用导数判断函数的单调性求出函数在x＞0时的最小值，判断函数的零点个数，然后判断x≤0时，函数的零点的个数，推出结果即可．

解答 解：当x＞0时，求导可得$f（x）=\frac{1}{x}+alnx$在$x=\frac{1}{a}$时有最小值，$f（\frac{1}{a}）=a+aln\frac{1}{a}$，
又$0＜a＜e，ln\frac{1}{a}＞ln\frac{1}{e}=-1$，所以$f（\frac{1}{a}）＞0$，即x＞0时，f（x）＞0，y=f[f（x）]＞0，没有零点．
当x≤0时，cosx∈[-1，1]，若cosx＞0，则y=f[f（x）]＞0，
若cosx∈[-1，0]，则同样可得y=f[f（x）]＞0，函数没有零点．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的零点个数的判断，考查计算能力．