Question

10．如图，动圆C过点F（1，0），且与直线x=-1相切于点P．
（Ⅰ）求圆心C的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）过点F任作一直线交轨迹Γ于A，B两点，设PA，PF，PB的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问：$\frac{{{k_1}+{k_3}}}{k_2}$是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，求圆心C的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，与抛物线方程联立，可得y²-4my-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到根与系数的关系，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，圆心C到点F的距离与到直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义，可得，圆心C的轨迹是以F 为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴圆心C的轨迹Γ的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，与抛物线方程联立，可得y²-4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
设P（-1，t），则k₁=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+2}$，k₂=-$\frac{t}{2}$，
∴k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+2}$=-t=2k₂，
∴$\frac{{{k_1}+{k_3}}}{k_2}$=2为定值．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．