Question

5．如图，点F是抛物线C：x²=2y的焦点，点P（x₁，y₁）为抛物线上的动点（P在第一象限），直线PF交抛物线C于另一点Q，直线l与抛物线C相切于点P．过点P作直线l的垂线交抛物线C于点R．
（1）求直线l的方程（用x₁表示）；
（2）求△PQR面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）首先设出直线L的方程，联立方程组消元根据△=0，求出k的值即可；
（2）设出直线PF方程，与抛物线联立方程组求出PR直线方程，从而就出R点坐标；再根据点到直线的距离求出三角形高表达式，结合基本不等式来求出三角形面积最小值；

解答 解：（1）设L的斜率为k，则L的方程为：
y=k（x-x₁）+$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2y}\\{y=k（x-{x}_{1}）+\frac{{x}_{1}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，消元化简得：
${x}^{2}-2kx+2k{x}_{1}-{x}_{1}^{2}=0$
因为直线L与抛物线相切，则由△=$4{k}^{2}-8k{x}_{1}+4{x}_{1}^{2}=0$，
可得k=x₁
所以直线L的方程为y=${x}_{1}x-\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$；
（2）设直线PF的方程为y=kx+$\frac{1}{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，消元化简得x²-2kx-1=0，又设Q（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$），则由根与系数的关系得：
x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1；
直线PR的方程为y=$-\frac{x}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+1$，与x²=2y联立方程组，解得点R（$-\frac{2+{x}_{1}^{2}}{{x}_{1}}$，$\frac{（2+{x}_{1}^{2}）^{2}}{2{x}_{1}^{2}}$）；
又因为k=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}-1}{2{x}_{1}}$，所以k²+1=$（\frac{{x}_{1}^{2}+1}{2{x}_{1}}）^{2}$；
则点R到直线PQ的距离为：
d=$\frac{|-\frac{k}{{x}_{1}}（2+{x}_{1}^{2}）-\frac{1}{2{x}_{1}^{2}}（2+{x}_{1}^{2}）^{2}+\frac{1}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）^{2}$；
又因为|PQ|=|PF|+|QF|=2k²+2，
所以△PQR面积为：
S=$\frac{1}{2}$|PQ|d=$\sqrt{{k}^{2}+1}$$（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$$（{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}）^{3}$≥$\frac{1}{2}$$（2\sqrt{{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}}）^{3}$=4；
当且仅当x₁=1即k=0时，取等号，所以△PQR面积的最小值为4．

点评 本题主要考查直线与抛物线的相对位置关系等问题，探索构造三角形面积最值，属较难题．