Question

20．已知点A（-1，0），B（1，0），△ABC的周长为6．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过点B（1，0）的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得MN的中点坐标，写出MN的垂直平分线方程，取x=0求得P的纵坐标，结合基本不等式求得点P的纵坐标的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，|CA|+|CB|=4，
故动点C的轨迹E是以A，B为焦点的椭圆．
设其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则2a=4，a=2，c=1，$b=\sqrt{3}$．
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（x≠±2）；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=144（1+k²）＞0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$．
设MN的中点为Q，则${x_Q}=\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_Q}=k（{x_Q}-1）=\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}$，
∴$Q（\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，-\frac{3k}{{3+4{k^2}}}）$．
由题意可知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为$y+\frac{3k}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}）$．
令x=0，解得${y_P}=\frac{k}{{3+4{k^2}}}=\frac{1}{{4k+\frac{3}{k}}}$．
当k＞0时，$4k+\frac{3}{k}≥4\sqrt{3}$，∴$0＜{y_P}≤\frac{{\sqrt{3}}}{12}$；
当k＜0时，$4k+\frac{3}{k}≤-4\sqrt{3}$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{12}≤{y_P}＜0$．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是$[-\frac{{\sqrt{3}}}{12}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}]$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．