Question

11．已知集合C={（x，y）|xy-3x+y+1=0}，数列{a_n}的首项a₁=3，且当n≥2时，点（a_n-1，a_n）∈C，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$．
（1）试判断数列{b_n}是否是等差数列，并说明理由；
（2）若$\lim_{n→∞}（\frac{s}{a_n}+\frac{t}{b_n}）=1$（s，t∈R），求s^t的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n-1a_n-3a_n-1+a_n+1=0，b_n=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$，n换为n-1，作差再由等差数列的定义即可得到；
（2）运用等差数列通项公式，求出b_n，a_n，再由数列极限运算，可得s=1，进而得到结论．

解答 解：（1）∵当n≥2时，点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上，
∴a_n-1a_n-3a_n-1+a_n+1=0   （1分）
由b_n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$得
当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{1-{a}_{n}-{a}_{n-1}+{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{-2{a}_{n}+2{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$（3分）
∴数列{b_n}是公差为-$\frac{1}{2}$的等差数列．（4分）
（2）∵a₁=3，∴b₁=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b_n=-$\frac{1}{2}$+（n-1）•（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$n，（6分）
∴-$\frac{1}{2}$n=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，则a_n=1+$\frac{2}{n}$    （8分）
∴$\frac{s}{{a}_{n}}$+$\frac{t}{{b}_{n}}$=$\frac{-\frac{s}{2}n+t-（1+\frac{2}{n}）}{-\frac{1}{2}n（1+\frac{2}{n}）}$=$\frac{-\frac{s{n}^{2}}{2}+tn+2t}{-\frac{1}{2}{n}^{2}-n}$，
由$\lim_{n→∞}（\frac{s}{a_n}+\frac{t}{b_n}）=1$（s，t∈R），
可得s=1，s^t=1．（10分）

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式运用，同时考查数列极限的运算，属于中档题．