Question

9．已知函数$f（x）=\frac{mx}{{{x^2}+n}}（m，n∈R）$在x=1处取得极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，求f（x）的最大值？
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R，总存在x₂∈[-1，0]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）根据基本不等式即可求出函数的最大值，
（3）求f′（x），令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得函数f（x）的极小值，且当x＞1时，f（x）＞0恒成立，得函数f（x）的最小值，利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[-1，0]上的最大值，由g（x）在[-1，0]上的最大值小于等于-2得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-m{x}^{2}+mn}{（{x}^{2}+n）^{2}}$，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=\frac{-m+mn}{（1+n）^{2}}=0}\\{f（1）=\frac{m}{1+n}=2}\end{array}\right.$，解得m=4，n=1，
∴f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$
（2）$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}=\frac{4}{{x+\frac{1}{x}}}$，
∵x＞0时，$x+\frac{1}{x}≥2$当且仅当x=1时取等号
∴f（x）的最大值为f（1）=2．
（3）f′（x）=$\frac{-4（{x}^{2}-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x）的最小值为-2，
∵对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，0]，使得g（x₂）≤f（x₁），
∴当x∈[-1，0]时，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1，
当a≥0时，g（x）最小值为g（0）=a，由a≤-2，此时不存在，
当-1＜a＜0时，g（x）的最小值为g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，此时时a不存在．
综上，a的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查了函数的求导及极值以及函数的最值和参数的取值范围，考查了分类讨论思想，转化思想，属于难题．