Question

12．已知函数f（x）=$\frac{alnx+b}{x}$（a≤2且a≠0），函数f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（3，0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）与函数g（x）=a+2-x-$\frac{2}{x}$的图象在区间（0，2）有且只有一个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出b=2a，求出f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，问题等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{alnx+b}{x}$，∴f（1）=b，f′（x）=$\frac{a-b-alnx}{{x}^{2}}$，
f′（1）=a-b，
∴y-b=（a-b）（x-1），切线过点（3，0），
故b=2a，
f′（x）=$\frac{a-b-alnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{a（lnx+1）}{{x}^{2}}$，
①当a∈（0，2]时，x∈（0，$\frac{1}{e}$）递增，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）递减，
②当a∈（-∞，0）时，x∈（0，$\frac{1}{e}$）递减，x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）递增；
（2）等价方程$\frac{alnx+2a}{x}$=a+2-x-$\frac{2}{x}$在（0，2]只有1个根，
即x²-（a+2）x+alnx+alnx+2a+2=0在（0，2]只有1个根，
令h（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，
等价函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，
∴h′（x）=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
①a＜0时，h（x）在（0，1）等价，在（1，2）递增，
x→0时，h（x）→+∞，要函数h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，
∴h（1）=0或h（2）＜0，
∴a=-1或a＜-$\frac{2}{ln2}$；
②a∈（0，2）时，h（x）在（0，$\frac{a}{2}$）递增，在（$\frac{a}{2}$，1）递减，在（1，2）递增，
∵h（$\frac{a}{2}$）＞h（1）=a+1＞0，x→0时，h（x）→-∞，
∵h（e^-4）=e^-8-e^-4-2＜0，f（2）=2+ln2＞0，
∴h（x）在（0，2]与x轴只有唯一的交点，
故a的范围是a=-1或a＜-$\frac{2}{ln2}$或0＜a≤2．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．