Question

7．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，且|DA|＜|DB|，求$\frac{|DA|}{|DB|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线的焦点为$F（0，\frac{p}{2}）$，则直线$l：y=x+\frac{p}{2}$，联立方程组，利用韦达定理得到x₁+x₂=2p，y₁+y₂=3p，通过|MN|=y₁+y₂+p=4p=16，求出p，即可求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设动圆圆心P（x₀，y₀），A（x₁，0），B（x₂，0），得到$x_0^2=8{y_0}$，圆$P：{（x-{x_0}）^2}+{（y-{y_0}）^2}=x_0^2+{（{y_0}-4）^2}$，令y=0，解得x₁=x₀-4，x₂=x₀+4，求$\frac{|DA|}{|DB|}$的表达式，推出x₀的范围，然后求解$\frac{|DA|}{|DB|}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为$F（0，\frac{p}{2}）$，则直线$l：y=x+\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$，得x²-2px-p²=0…（2分）
∴x₁+x₂=2p，∴y₁+y₂=3p，
∴|MN|=y₁+y₂+p=4p=16，∴p=4…（4分）
∴抛物线C的方程为x²=8y…（5分）
（Ⅱ）设动圆圆心P（x₀，y₀），A（x₁，0），B（x₂，0），则$x_0^2=8{y_0}$，
且圆$P：{（x-{x_0}）^2}+{（y-{y_0}）^2}=x_0^2+{（{y_0}-4）^2}$，
令y=0，整理得：${x^2}-2{x_0}x+x_0^2-16=0$，
解得：x₁=x₀-4，x₂=x₀+4，…（7分），
$\frac{|DA|}{|DB|}=\sqrt{\frac{{{{（{x_0}-4）}^2}+16}}{{{{（{x_0}+4）}^2}+16}}}=\sqrt{\frac{{x_0^2-8{x_0}+32}}{{x_0^2+8{x_0}+32}}}=\sqrt{1-\frac{{16{x_0}}}{{x_0^2+8{x_0}+32}}}$，…（9分）
当x₀=0时，$\frac{|DA|}{|DB|}=1$，
当x₀≠0时，$\frac{|DA|}{|DB|}=\sqrt{1-\frac{16}{{{x_0}+8+\frac{32}{x_0}}}}$，∵x₀＞0，∴${x_0}+\frac{32}{x_0}≥8\sqrt{2}$，$\frac{|DA|}{|DB|}≥\sqrt{1-\frac{16}{{8+8\sqrt{2}}}}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，∵$\sqrt{2}-1＜1$，
所以$\frac{|DA|}{|DB|}$的最小值为$\sqrt{2}-1$．   …（12分）

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，抛物线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．