Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4\;|{\;{{log}_2}x\;}|\;\;\;\;\;0＜x＜2\\ \frac{1}{2}{x^2}-5x+12\;\;\;\;\;x≥2\end{array}$，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），若d＞c＞b＞a＞0，则abc（d-4）的取值范围是（　　）

• A． （8，9）
• B． （8，9]
• C． （12，32）
• D． [12，32）

Answer 1

分析 根据图象可判断：$\frac{1}{2}$＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，推出ab的值，利用二次函数的值域，求解表达式的范围即可．

解答 解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0
根据图象可判断：$\frac{1}{2}$＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，
由二次函数的对称性可知c+d=10．
∵f（a）=f（b），可得：-4log₂a=4log₂b，
可得ab=1．
abc（d-4）=c（d-4）=c（6-c）=6c-c²=9-（c-3）²，
∵2＜c＜4，∴c-3∈（-1，1），（c-3）²∈[0，1）
∴9-（c-3）²∈（8，9]．
故选：B．

点评 本题综合考查了函数图象的运用，求解两个图象的交点问题，运用动的观点解决，理解好题意是解题关键．