Question

10．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆M交于y轴于P、Q两点．
（1）求线段PQ的长；
（2）动圆N的圆心N在直线2x-y+6=0上运动，半径为10，若圆N与圆M有公共点，求点N横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
（2）先求出圆M的圆心和半径，再设动圆N的圆心N的坐标为（a，b），求出圆心距，根据圆N与圆M有公共点，则R-r≤d≤R+r，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{1+9+D+3E+F=0}\\{16+4+4D+2E+F=0}\\{1+49+D-7E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-2，E=4，F=-20，
∴x²+y²-2x+4y-20=0，
令x=0，可得y²+4y-20=0，
∴y=-2±2$\sqrt{6}$，
∴|PQ|=4$\sqrt{6}$，
（2）由（1）可得圆M的方程（x-1）²+（y-2）²=25，
则圆M的圆心的坐标为（1，2），半径为r=5，
设动圆N的圆心N的坐标为（a，b），R=10，
则2a-b+6=0，
即b=2a+6，
∴两圆的圆心距为d=$\sqrt{（a-1）^{2}+（2a+6-2）^{2}}$，
∵圆N与圆M有公共点，
∴R-r≤d≤R+r，
∴5≤d≤15，
∴25≤（a-1）²+（2a+4）²≤225，
即$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}+14a-8≥0}\\{5{a}^{2}+14a-208≤0}\end{array}\right.$，
解得-3-$\sqrt{41}$≤a≤-4，或-2≤a≤-3+$\sqrt{41}$，
故a的取值范围为[-3-$\sqrt{41}$，-4]∪[-2，-3+$\sqrt{41}$]

点评 本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键，属于中档题．