Question

20．甲、乙两人玩儿掷骰子游戏，游戏规则规定：若抛掷处的点数不少于3点，则抛掷者得1分，对方得0分，若抛掷出的点数少于3点，则抛掷者得0分，对方得1分，各次抛掷互相独立，并规定第一次由甲抛掷，第二次由乙抛掷，第三次再由甲抛掷，依次轮换抛掷．
（Ⅰ）求前3次抛掷甲得2分且乙得1分的概率；
（Ⅱ）ξ表示前3此抛掷乙的得分，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设甲第一次抛掷大于等于3点为事件A，乙第一次抛掷大于等于3点为事件B，甲第二次抛掷大于等于3点为事件C，可得P（A）=P（B）=P（C）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=P（$\overline{B}$）=P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{3}$．再由相互独立事件的概率求得前3次抛掷甲得2分且乙得1分的概率；
（Ⅱ）由题意求得ξ的取值，进一步求得对应的概率，得到分布列，代入期望公式求得数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设甲第一次抛掷大于等于3点为事件A，乙第一次抛掷大于等于3点为事件B，甲第二次抛掷大于等于3点为事件C．
则P（A）=P（B）=P（C）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{A}$）=P（$\overline{B}$）=P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{3}$．
前3次抛掷甲得2分且乙得1分包括甲两次均大于等于3点乙大于等于3点；甲有1次不大于等于3点乙的1次不大于等于3点．
∴前3次抛掷甲得2分且乙得1分的概率P=$（P（A））^{2}P（B）+{C}_{2}^{1}P（A）P（\overline{A}）P（\overline{B}）$=$（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{2}{3}+2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$；
（Ⅱ）ξ=0、1、2、3．
P（ξ=0）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，P（ξ=1）=$\frac{4}{9}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{3}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$．
分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{27}$

Eξ=$0×\frac{4}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{2}{27}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查了独立重复试验与相互独立事件的概率，是中档题．