Question

11．已知如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AP⊥平面ABCD，DC=2AB=2AD=2AP，点E、F、G分别是PB、PC、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出EF∥BC，GF∥DC，从而平面EFG∥平面ABCD，由此能证明AC∥平面EFG．
（Ⅱ）根据条件，直线AB，AD，AP两两垂直，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵点E、F、G分别是PB、PC、PD的中点，
∴EF∥BC，GF∥DC．…（1分）
∵EF?平面ABCD，GF?平面ABCD，BC?平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，GF∥平面ABCD．…（3分）
∵EF∩GF=F，∴平面EFG∥平面ABCD．…（5分）
∵AC?平面ABCD，∴AC∥平面EFG． …（6分）
解：（Ⅱ）根据条件，直线AB，AD，AP两两垂直，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设DC=2AB=2AD=2AP=2，则C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（2，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-1，1）．…（8分）
设$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{m}=（a，b，c）$分别是平面ACP和平面CDP的一个法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-2，0）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-b+c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）．…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（11分）
∵二面角A-PC-D是锐角，
∴二面角A-PC-D的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．