Question

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，A₁A=AD=1，
求：（1）A₁C与平面ABCD所成角的大小；
（2）平面A₁D₁DA与平面A₁D₁CB所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABCD，知∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成角，由此能求出A₁C与平面ABCD所成角．
（2）由AA₁⊥A₁D₁，A₁B⊥A₁D₁，知∠AA₁B是平面A₁D₁DA与平面A₁D₁CB所成二面角的平面角，由此能求出平面A₁D₁DA与平面A₁D₁CB所成二面角的正弦值．

解答 解：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，∴A₁C在平面ABCD的射影是AC，
∴∠A₁CA是A₁C与平面ABCD所成角…（2分）
由AA₁⊥平面ABCD，得AA₁⊥AC，∴△A₁CA是直角三角形，
AA₁=1，AC=$\sqrt{3}$，∴A₁C=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=2，…（4分）
∠A₁CA的对边比斜边为$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁CA=30°，
∴A₁C与平面ABCD所成角为30°．…（6分）
（2）∵AA₁⊥A₁D₁，A₁B⊥A₁D₁，
∴∠AA₁B是平面A₁D₁DA与平面A₁D₁CB所成二面角的平面角…（10分）
∵sin$∠A{A}_{1}B=\frac{AB}{{A}_{1}B}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴平面A₁D₁DA与平面A₁D₁CB所成二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面角的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．