Question

14．已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数h（x）=2xlnx，对一切x∈（0，+∞），都有h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若x=3是函数f（x）的极值点，是否存在实数b，使得函数g（x）=-7x+b的图象与函数f（x）的图象恰有1个交点？若存在，请求出实数b的取值范围，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行计算，
（Ⅱ）分离参数，问题转化为a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$对一切x∈（0，+∞）恒成立，设m（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅲ）f（x）与g（x）恰有1个交点，即f（x）=g（x）有1个根，得到x³-4x²+4x=b有1个根，令F（x）=x³-4x²+4x，F′（x）=3x²-8x+4，求出F（x）的极大值和极小值，从而求出b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0；
（Ⅱ）∵h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6在x∈（0，+∞）恒成立，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$对一切x∈（0，+∞）恒成立，
设m（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），则m′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
m（x）_最小值=m（1）=4，故a≤4；
（Ⅲ）∵x=3是函数f（x）的极值点，
∴f′（3）=0，解得：a=4，
∵f（x）与g（x）恰有1个交点，即f（x）=g（x）有1个根，
∴x³-4x²+4x=b有1个根，
令F（x）=x³-4x²+4x，F′（x）=3x²-8x+4，
令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，令F′（x）＜0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故F（x）在（-∞，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴F（x）_极大值=F（$\frac{2}{3}$）=$\frac{32}{27}$，F（x）_极小值=F（2）=0，
故b＜0或b＞$\frac{32}{27}$．

点评 掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系，会运用导数解决函数的极值和最值问题．