Question

9．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=$\sqrt{2}$，DC=SD=2，点M是侧棱SC的中点．
（Ⅰ）求异面直线BM与CD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与CD所成角．
（Ⅱ）由向量法得到$\overrightarrow{GB}⊥\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{MS}⊥\overrightarrow{AM}$，从而$\left?{\overrightarrow{GB}，\overrightarrow{MS}}\right＞$等于二面角S-AM-B的平面角．由此能出二面角S-AM-B的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（$\sqrt{2}$，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），M（0，1，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{2}$，-1，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-2，0），
设异面直线BM与CD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴异面直线BM与CD所成角为60°．
（Ⅱ）由 $M（0，1，1），A（\sqrt{2}，0，0）$，得AM的中点$G（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
又$\overrightarrow{GB}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MS}=（0，-1，1）$，$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}，1，1）$，
故$\overrightarrow{GB}•\overrightarrow{AM}=0$，$\overrightarrow{MS}•\overrightarrow{AM}=0$，
即$\overrightarrow{GB}⊥\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{MS}⊥\overrightarrow{AM}$．
因此$\left?{\overrightarrow{GB}，\overrightarrow{MS}}\right＞$等于二面角S-AM-B的平面角．
$cos\left?{\overrightarrow{GB}，\overrightarrow{MS}}\right＞=\frac{{\overrightarrow{GB}•\overrightarrow{MS}}}{{|{\overrightarrow{GB}}||{\overrightarrow{MS}}|}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
所以二面角S-AM-B的余弦值为$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查二在面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．