Question

17．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E是线段AB上的点，且EB=1，则二面角C-DE-C₁的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥DE于F，连结C₁F，说明∠C₁FC就是二面角C-DE-C₁的平面角，在△C₁FC中，∠C₁CF=90°，求解tan∠C₁FC的值即可．

解答 解：过点C作CF⊥DE于F，连结C₁F，因为DE⊥C₁C，所以DE⊥平面C₁CF，所以C₁F⊥DE，
所以∠C₁FC就是二面角C-DE-C₁的平面角，
在△C₁FC中，∠C₁CF=90°，CF=CDsin45$°=2\sqrt{2}$．
所以tan∠C₁FC=$\frac{C{C}_{1}}{CF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．