Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，点E，F分别是PB，DC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求EF与平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 取CB的中点G，连结DG，建立空间直角坐标系：
（1）$\overrightarrow{DG}$=（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，根据$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{DG}$，进而可证EF∥面PAD
（2）平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（5，-12，0），代和线面夹角公式，可得答案．

解答 证明：取CB的中点G，连结DG，因为AD∥BG且AD=BD，
所以四边形ABGD为平行四边形，
所以DG=AB=12，
又因为AB⊥AD，
所以DG⊥AD，
又PD⊥平面ABCD，
故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系．…（2分）

因为BC=10，AD=5，PD=8，
所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，-5，0），
因为E，F分别是PB，DC的中点，
所以E（6，-2.5，0），F（6，2.5，4），
（1）因为PD⊥平面ABCD，DG?平面ABCD，
所以PD⊥DG，
又因为DG⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，
所以DG⊥平面PAD，
所以$\overrightarrow{DG}$=（12，0，0）为平面PAD的一个法向量，…（5分）
又$\overrightarrow{EF}$=（0，5，4），$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DG}$=0，
所以$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow{DG}$，
又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD；…（7分）
（2）设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DB}\\ \overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DP}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}12x+5y=0\\ 8z=0\end{array}\right.$，
令x=5，则$\overrightarrow{n}$=（5，-12，0）…（10分）
所以EF与平面PDB所成角θ满足：
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{EF}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{60}{13•\sqrt{41}}$=$\frac{60}{533}\sqrt{41}$，…（13分）
所以EF与平面PDB所成角的正弦值为$\frac{60}{533}\sqrt{41}$…（14分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，直线与平面的夹角，难度中档．