Question

3．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线L：x=ty+1与C交于P（x₁，y₁），Q（x₁，y₂）两点，若$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{FQ}$．
（1）若λ=1，求|PQ|的长；
（2）若λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求|PQ|的范围．

Answer 1

分析 利用抛物线得焦点弦公式，表示∴|PQ|=λ+$\frac{1}{λ}$+2，λ∈[$\frac{1}{2}，2]$，再求其值域即可．

解答 解：（1）当λ=1时，PQ为抛物线得通经2p，|PQ|=4PQ=4；…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$得y²-4ty-4=0'
y₁+y₂=4t…①y₁y₂=-4…②
∵$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PQ}$⇒y₁=-λy₂…③
由①②③消去y₁，y₂得4t²=λ+$\frac{1}{λ}$-2…④
∵直线L：x=ty+1过抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
∴|PQ|=x₁+x₂+2=t（y₁+y₂）+4=4t²+4…⑤．
把④代入⑤得∴|PQ|=λ+$\frac{1}{λ}$+2，λ∈[$\frac{1}{2}，2]$
∴∴|PQ|$∈[4，\frac{9}{2}]$．

点评 本题考查了抛物线的焦点弦问题，焦点弦公式是关键．