Question

9．已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}前n项和S_n的最大值；
（3）设b_n=$\frac{1}{（4-{a}_{n}）（4-{a}_{n+1}）}$，数列{b_n}的前n项的和记为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由题意和等差数列的通项公式列出方程组，求出a₁和d，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和等差数列的前n项和公式求出S_n，利用配方法化简后，由二次函数的性质求出S_n的最大值；
（3）由（1）化简b_n，利用裂项相消法求出前n项的和T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，…（1分）
由已知条件得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=1}\\{{a}_{1}+4d=-5}\end{array}\right.$，…（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=-2}\end{array}\right.$  …（3分）
所以a_n=3+（n-1）•（-2）=-2n+5；…（4分）
（2）由（1）得，S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3-2n+5）}{2}$
=-n²+4n=-（n-2）²+4．…（6分）
所以当n=2时，S_n取到最大值是4；  …（8分）
（3）由（1）得，b_n=$\frac{1}{（4-{a}_{n}）（4-{a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），…（10分）
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$----（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式以及最值问题，以及裂项相消法求数列的和，考查方程思想，化简、变形能力．