Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}$x，x∈R．
（1）求$f（\frac{4π}{3}）$；
（2）求函数f（x）的最小正周期与单调减区间．

Answer 1

分析 首项根据二倍角公式和辅助角公式得到：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）将$f（\frac{4π}{3}）$代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值进行解答；
（2）根据正弦函数图象的性质进行解答．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
（1）$f（\frac{4π}{3}）=sin（\frac{8π}{3}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$；
（2）f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$，
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，
所以函数f（x）的单调减区间为$[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．