Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．过点G（1，0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）焦点在x轴上，一个顶点为A（2，0），即a=2，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：b²=2，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为：my=x-1，代入椭圆方程，由韦达定理可知：y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+2}$，由弦长公式可知：∴|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{4{m}^{2}+6}}{{m}^{2}+2}$．点A到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，根据三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$|•BC|•d=$\frac{\sqrt{4{m}^{2}+6}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，即可求得m的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）焦点在x轴上，
由一个顶点为A（2，0），即a=2，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：b²=2，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$：
（2）设直线l的方程为：my=x-1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为（m²+2）y²+2my-3=0，
△=4m²+12（m²+2）=16m²+24＞0
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+2}$．
∴|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{2m}{{m}^{2}+2}）^{2}-4×（-\frac{3}{{m}^{2}+2}）}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{4{m}^{2}+6}}{{m}^{2}+2}$．
点A到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴△AMN的面积S=$\frac{1}{2}$|•BC|•d=$\frac{\sqrt{4{m}^{2}+6}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{3}$，
化为5m⁴+2m²-7=0，
解得m²=1，
∴m=±1．
直线l的方程x±y-1=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次的方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．