Question

2．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=2，AA₁=2$\sqrt{3}$．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁交A₁C于点G，连结DG，推导出DG∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁DC．
（2）过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B₁C₁于E．分别以OB，OE，OA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC₁交A₁C于点G，连结DG．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形 ACC₁A₁是平行四边形，
∴AG=GC₁．
∵AD=DB，∴DG∥BC₁．
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．…..4分
解：（2）过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B₁C₁于E．
∵平面ABC⊥平面CBB₁C₁，
∴AO⊥平面CBB₁C₁．
分别以OB，OE，OA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∵$BC=2，A{A_1}=2\sqrt{3}$，△ABC是等边三角形，∴O为BC的中点．
则O（0，0，0），$A（{0，0，\sqrt{3}}）$，C（-1，0，0），${A_1}（{0，2\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$，$D（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，…..6分
设平面A₁DC的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}C}=0.\end{array}\right.$∵$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{{A_1}C}=（-1，-2\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\\-x-2\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0.\end{array}\right.$取$x=\sqrt{3}$，得平面A₁DC的一个法向量为$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，1，-3}）$．…..8分
同理可求平面ACA₁的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{\sqrt{3}，0，-1}）$．…10分
设二面角D-A₁C-A的大小为θ，
则$cosθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{n_1}＞}|=\frac{6}{{\sqrt{13}×2}}=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$．
∵θ∈（0，π），
∴二面角D-A₁C-A的平面角的正弦值$sinθ=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$…..12分．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．