Question

12．已知点O为坐标原点，点P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）在椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，且椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过定点M（0，-2）的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：2c=2，c-1，将P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（2）直线l的方程为：y=kx-2（k≠0），代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，原点O到直线l的距离为d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，根据弦长公式可知丨PQ丨=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，利用三角形的面积公式可知：S_△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，令$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t，t＞0，则4k²=t²+1，则S_△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$，由基本不等式的性质即可求得△OPQ面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆C的焦距为2，即2c=2，c-1，
由P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）在椭圆C，则将P（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，
∴$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9（{a}^{2}-1）}=1$，解得：a²=4，则b²=3，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，设直线l的斜率为k，直线l的方程为：y=kx-2（k≠0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-16kx+4=0，
则△=（-16k²）-4×（4k²+3）×4=192k²-48＞0，解得：k²＞，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁•x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
设原点O到直线l的距离为d，
则d=$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由弦长公式可知：丨PQ丨=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{（\frac{16k}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{4}{4{k}^{2}+3}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，
∴△OPQ面积S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨2丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{4{k}^{2}-1}}{4{k}^{2}+3}$，
令$\sqrt{4{k}^{2}-1}$=t，t＞0，则4k²=t²+1，
∴S_△OPQ=$\frac{4\sqrt{3}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{4\sqrt{3}}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{4}}$=$\sqrt{3}$，
当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2，k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，取等号，
∴△OPQ面积的最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．