Question

7．平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使得我们可以用向量作为解析几何的研究工具，例如，设直线l的倾斜角α（α≠90°），在l上任取两个不同的点P₁（x₁，y₂），P₂（x₂，y₂），不妨设向量$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$的方向是向上的，那么向量$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$的坐标为（x₂-x₁，y₂-y₁），过原点作向量$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$，则点P的坐标是（x₂-x₁，y₂-y₁），而直线OP的倾斜角也是α（α≠90°），根据正切函数的定义得k=tanα=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{x{\;}_2-{x_1}}}$；利用向量工具研究下列直线Ax+By+C=0，（ABC≠0）有关问题；
（1）、判断向量$\overrightarrow m$=（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系，并说明理由；
（2）、直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0相交，求两直线夹角的余弦值；
（3）、用向量知识推导点P₀（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0，（ABC≠0）的距离公式．

Answer 1

分析 （1）直线的方向向量为$\overrightarrow{m}$=（-B，A），$\overrightarrow{m}$=（A，B），可得向量$\overrightarrow m$=（A，B）是直线Ax+By+C=0的法向量；
（2）直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0相交D，在直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0上分别取P，Q，可得两直线夹角的余弦值=|$\frac{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{DQ}|}$|；
（3）利用向量的数量积运算，求出$\overrightarrow{{P}_{0}R}$在直线的单位法向量上的投影的绝对值即可．

解答 解：（1）直线的方向向量为$\overrightarrow{m}$=（-B，A），$\overrightarrow{m}$=（A，B），
∴向量$\overrightarrow m$=（A，B）是直线Ax+By+C=0的法向量；
（2）直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0相交D，
在直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0上分别取P，Q，则两直线夹角的余弦值=|$\frac{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{DQ}|}$|；
（3）设R是直线上任意一点，则R（x，y），直线的方向向量为$\overrightarrow{m}$=（-B，A），
则可取直线法向量为$\overrightarrow{m}$=（A，B），
$\overrightarrow{{P}_{0}R}$=（x-x₀，y-y₀）
∴d=$\frac{|A（x-{x}_{0}）+B（y-{y}_{0}）|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查了点到直线的距离公式、两直线夹角的余弦值的证明方法、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于难题．