Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，其中AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=3，且∠BCD=60°；E为CD中点，PA=PB=PC=PD=4．
（1）求证：AD⊥PE．
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接EB，推导出△EBC为等边三角形，从而△PEB≌△PEC，进而PE⊥ABCD，由此能证明AD⊥PE．
（2）求出$PE=\sqrt{7}$，由此能出四棱锥P-ABCD的体积．

解答 证明：（1）连接EB，∵ABCD为等腰梯形，E为CD中点，
∴BE=AD=BC，∴△EBC为等腰三角形，
又∠BCD=60°，故△EBC为等边三角形．
∴BE=BCPD=PC，E为CD的中点，
PE⊥CD，
由BE=BC，PB=PC，PE=PE，
得△PEB≌△PEC，∴PE⊥EB，
BE∩BC=B，
∴PE⊥ABCD，
∵AD?ABCD，∴AD⊥PE．…（6分）
解：（2）∵PC=4，EC=3，∴$PE=\sqrt{7}$，${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}（3+6）•\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{27}{4}\sqrt{3}$，
∴四棱锥P-ABCD的体积${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}•\sqrt{7}•\frac{27}{4}\sqrt{3}=\frac{9}{4}\sqrt{21}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．