Question

20．若双曲线C的顶点和焦点分别为椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦点和顶点，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

Answer 1

分析 由椭圆的标准方程为：焦点在x轴上，则a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{9-5}$=2，焦点（±2，0），顶点（±3，0），由题意可知：设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0），焦距2c₁，则m=2，c₁=3，n²=$\sqrt{{c}_{1}^{2}-{m}^{2}}$=5，即可求得双曲线的标准方程．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦点在x轴上，则a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{9-5}$=2，
则椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦点（±2，0），顶点（±3，0），
由双曲线C的顶点和焦点分别为椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{5}$=1的焦点和顶点，
则设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$（m＞0，n＞0），焦距2c₁，
∴m=2，c₁=3，
则n²=$\sqrt{{c}_{1}^{2}-{m}^{2}}$=5，
∴双曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线及椭圆的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题．