Question

5．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，（m＞0，n＞0），m+n=2，则∠AOB的最小值为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 设圆O的半径为1，对$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，两边平方可得1=m²+2mncos∠AOB+n²，根据已知条件可知m，n∈（0，2），所以将m=2-n带入上式并求出cos∠AOB的表达式，进而得到答案．

解答 解：由已知条件知，m，n∈（0，2），设圆O的半径为1；
$\overrightarrow{OC}$²=（m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$）²；
∴1=m²+2mncos∠AOB+n²；
将m=2-n带入并整理得-2n²+4n-3=（-2n²+4n）cos∠AOB；
∴cos∠AOB=1+$\frac{3}{2{n}^{2}-4n}$；
∵n∈（0，2）时，2n²-4n＜0；
且n=1时，2n²-4n取最小值-2，1+$\frac{3}{2{n}^{2}-4n}$取最大值-$\frac{1}{2}$；
此时，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，即为最小值．
故选：A

点评 考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，余弦函数的单调性及最值．