Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且a²=2b．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数m，使得直线l：x-y+m=0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，a²=2c²，由a²=b²+c²，a²=2b²，由a²=2b，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，即可求得m的取值范围，由韦达定理及中点坐标公式，求得AB的中点M的坐标，代入圆x²+y²=5即可求得m的值，由m=±3，与m²＜3矛盾，故实数m不存在．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，a²=2c²，
由a²=b²+c²，
∴a²=2b²，
由a²=2b．
∴b=1，a²=2，
椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+2mx+m²-2=0，
∴△=（2m）²-4×3×（m²-2）＞0，即m²＜3，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2m}{3}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{2m}{3}$，
即M（-$\frac{m}{3}$，$\frac{m}{3}$）．
∵线段AB的中点M点在圆x²+y²=5上，
可得（-$\frac{m}{3}$）²+（$\frac{m}{3}$）²=5，
解得：m=±3，与m²＜3矛盾．
故实数m不存在．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．