Question

20．（1）已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9；
（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式即可证明．
（2）用分析法证．欲证要证证：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a，平方后寻求使之成立的充分条件即可．

解答 证明：（1）a，b，c均为正实数，a+b+c=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{c}$+$\frac{a+b+c}{b}$+$\frac{a+b+c}{a}$
=3+（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号，
故：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9；
（2）要证：$\sqrt{{b}^{2}-ac}$＜$\sqrt{3}$a．
只需证b²-ac＜3a²，
∵a+b+c=0
即证b²+a（a+b）＜3a²，即证（a-b）（2a+b）＞0，
即证（a-b）（a-c）＞0．
∵a＞b＞c，
∴a-b＞0，a-c＞0
∴（a-b）•（a-c）＞0成立．
∴原不等式成立．

点评 本题考查了基本不等式的应用和分析法证明不等式，当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法．