Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，（x≤1）}\\{{x}^{2}-4x+3，（x＞1）}\end{array}\right.$，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-2，2]∪[4，+∞）
• C． [-2，2+$\sqrt{2}$]
• D． [-2，2+$\sqrt{2}$]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒$\left\{\begin{array}{l}{1-|t|≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$⇒-1≤t≤1；$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4t+3≥0}\\{t＞1}\end{array}\right.$⇒t≥3，再求解-1≤f（m）≤1和f（m）≥3即可．

解答 解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒$\left\{\begin{array}{l}{1-|t|≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$⇒-1≤t≤1；
$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-4t+3≥0}\\{t＞1}\end{array}\right.$⇒t≥3
下面求解-1≤f（m）≤1和f（m）≥3，
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤1-|m|≤1}\\{m≤1}\end{array}\right.$⇒-2≤m≤1，
$\left\{\begin{array}{l}{-1≤{m}^{2}-4m+3≤1}\\{m＞1}\end{array}\right.$⇒1＜m≤2+$\sqrt{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{1-|m|≥3}\\{m≤1}\end{array}\right.$⇒m无解，
$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4m+3≥3}\\{m＞1}\end{array}\right.$⇒m≥4，
综上实数m的取值范围是[-2，2+$\sqrt{2}$]∪[4，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了复合函数的不等式问题，换元分段求解是常规办法，也可以利用图象求解，属于难题．