Question

20．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），且mn=$\frac{2}{9}$，则该双曲线的离心率为$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用mn=$\frac{2}{9}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
代入$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），
得P（（m+n）c，（m-n）$\frac{bc}{a}$），代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理可得4e²mn=1，
因为mn=$\frac{2}{9}$，
所以可得e=$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
故答案为$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查双曲线的基本性质，考查双曲线离心率的求法，考查计算能力，比较基础．