Question

4．已知函数f（x）=-x²+2|x|．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调区间（不需证明）；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）=-x²+2|x|为偶函数．运用偶函数的定义，判断f（-x）=f（x）即可；
（Ⅱ）由二次函数的单调性即可得到单调区间；
（Ⅲ）根据单调性，可得f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

解答 （本题12分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=-x²+2|x|为偶函数．
理由：由函数f（x）的定义域为R，
且f（-x）=-（-x）²+2|-x|=-x²+2|x|=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（Ⅱ）函数f（x）的递增区间为：（-∞，-1]，[0，1]；
递减区间为：[-1，0]，[1，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）_max=f（-1）=f（1）=1；
f（x）_min=f（-3）=-3．

点评 本题考查函数的性质和运用：求最值，主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．