Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}{b}$．
（1）求$\frac{sinC}{sinA}$的值
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解$\frac{sinC}{sinA}$=2．
（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理，则$\frac{2c-a}{b}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
所以$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．
因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．
因此$\frac{sinC}{sinA}$=2．--------------------------（6分）
（2）由$\frac{sinC}{sinA}$=2，得c=2a，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，及cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，
得4=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{4}$．解得a=1，从而c=2．
因为cosB=$\frac{1}{4}$，且sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
因此S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×1×2×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．---------------------（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题．