Question

11．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=$\frac{2}{x}$-1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）当x＜0时，-x＞0，由f（-x）=$\frac{2}{-x}$-1=-f（x），求得f（x）的解析式；再根据f（0）=0，求得f（x）在R上的解析式．

解答 （1）证明：设x₂＞x₁＞0，∵f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{2}{{x}_{1}}$-1）-（$\frac{2}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$，
由题设可得x₂-x₁＞0，且x₂•x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=$\frac{2}{-x}$-1=-f（x），∴f（x）=$\frac{2}{x}$+1．
又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{2}{x}+1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查用定义证明函数的单调性，求函数的解析式，奇函数的性质，属于中档题．