Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线与抛物线y²=4x分别相交于异于原点O的两点A，B，F为抛物线y²=4x的焦点，已知∠AFB=$\frac{2π}{3}$，则该双曲线的离心率为$\sqrt{13}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可知：由A在双曲线的渐近线上，即y=±$\frac{b}{a}$x，则丨n丨=$\frac{b}{a}$m，由A在抛物线y²=4x上，则4m=n²，求得m=$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$，丨n丨=$\frac{4a}{b}$，由∠AFB=$\frac{2π}{3}$，则48（$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）2-40•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+3=0，求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=12或$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：设A（m，n），由A在双曲线的渐近线上，即y=±$\frac{b}{a}$x，
则丨n丨=$\frac{b}{a}$m，
∴由A在抛物线y²=4x上，则4m=n²，
∴m=$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$，丨n丨=$\frac{4a}{b}$，
由∠AFB=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{4a}{b}$=$\sqrt{3}$•丨1-$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$丨，
∴48（$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）2-40•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+3=0，
∴$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{12}$，或$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=12或$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
由双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{13}$，
或e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
曲线的离心率为$\sqrt{13}$，$\frac{\sqrt{21}}{3}$
故答案为：$\sqrt{13}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．