Question

13．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD与点D，E，F分别为弦AB，AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．
（1）求证：CA为△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的半径与△ABC外接圆的半径比值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．
（2）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B、E、F、C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值．

解答 （1）证明：∵BC•AE=DC•AF，
∴$\frac{BC}{DC}=\frac{AF}{AE}$…（1分）
又 DC为圆的切线
∴∠DCB=∠EAF…（2分）
∴△AFE∽△CBD…（3分）
∴∠AFE=∠CBD…（4分）
又B，E，F，C四点共圆
∴∠AFE=∠CBE…（5分）
∴∠CBD=∠CBE=90°
∴CA是△ABC外接圆的直径…（6分）
（2）解：连结CE，∵∠CBE=90°
∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…（7分）
∵DB=BE，且BC⊥DE
∴CD=CE…（8分）
∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径
∴AC⊥DC…（9分）
设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，
CD²=BD•DA=3a²，AC²=AB•AD=6a²，
∴$\frac{C{D}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴过B、E、F、C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形外接圆直径的证明，考查两圆半径比值的求法，解题时要认真审题，注意四点共圆的性质的灵活运用．