Question

8．已知椭圆C的左、右焦点分别为（-$\sqrt{3}，0$）、（$\sqrt{3}，0$），且经过点（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）．
（ I）求椭圆C的方程：
（ II）直线y=kx（k∈R，k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D点为椭圆C上的动点，且|AD|=|BD|，请问△ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB的方程：若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3，将点（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-3}=1$，即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程：
（II）D在AB的垂直平分线上，OD：$y=-\frac{1}{k}x$，将直线方程代入椭圆方程求得（1+4k²）x²=4，则|AB|=2|OA|=4$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$，|OC|=2$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$，可知S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\frac{{4（1+{k^2}）}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$，根据基本不等式的性质可知：$\sqrt{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}≤\frac{{5（1+{k^2}）}}{2}$，因此S_△ABC=2S_△OAC≥$\frac{8}{5}$，即可求得直线AB的方程．

解答 解：（I）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3，
将点（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-3}=1$，即$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4（{a}^{2}-3）}=1$，
解得：a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（II）D在AB的垂直平分线上，
∴OD：$y=-\frac{1}{k}x$．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²=4，
|AB|=2|OA|=2$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$=4$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$，…（6分）
同理可得|OD|=2$\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$，…（7分）
则S_△ABD=2S_△OAD=|OA|×|OD|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（4{k}^{2}+1）（k{{\;}^{2}+}^{\;}4）}}$．…（8分）
由于$\sqrt{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}≤\frac{{5（1+{k^2}）}}{2}$，…（10分）
∴S_△ABD=2S_△OAD≥$\frac{8}{5}$，
当且仅当1+4k²=k²+4，即k=±1时取等号．
∴△ABD的面积取最小值$\frac{8}{5}$，直线AB的方程为y=±x．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式与基本不等式性质的应用，考查计算能力，属于中档题．