Question

19．已知函数：f（x）=-x³-3x²+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．
（1）令h（x）=f（x-1）-b+a+3，判断h（x）的奇偶性，并讨论h（x）的单调性；
（2）若g（x）=|f（x）|，设M（a，b）为g（x）在[-2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据已知求也函数h（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，求导，可分析出h（x）的单调性；
（2）若g（x）=|f（x）|，则f（t-1）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，令h（t）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，结合导数法分类讨论，可得M（a，b）的最小值．

解答 解：（1）h（x）=-（x-1）³-3（x-1）²+（1+a）x+2，
h（-x）=（x+1）³-3（x+1）²-x（a+1）+2，
故h（x）是非奇非偶函数；
h′（x）=-3x²+a+4，
a+4≤0即a≤-4时，h′（x）≤0，
h（x）在R递减；
a+4＞0即a＞-4时，
令h′（x）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，
令h′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$或x＞$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，
故h（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$）递减，在（-$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$）递增，
在（$\frac{\sqrt{3（a+4）}}{3}$，+∞）递减；
（2）g（x）=|f（x）|=|x³+3x²-（1+a）x-b|，（a＜0），
则f（t-1）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，
令h（t）=t³-（a+4）t+a-b+3，t∈[-1，1]，
则h′（t）=3t²-（a+4），t∈[-1，1]，
①当a≤-4时，h′（t）≥0恒成立，
此时函数为增函数，
则M（a，b）=max{|h（-1）|，|h（1）|}=max{|2a-b+6|，|b|}
②当-4＜a＜0时，h（t）有两个极值点t₁，t₂，不妨设t₁＜t₂，
（i）当-1≤a＜0时，t₁=-$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$≤-1，t₂=$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$≥1，
此时函数为减函数，
则M（a，b）=max{|h（-1）|，|h（1）|}=max{|2a-b+6|，|b|}
（ii）当-4＜a＜-1时，t₁=-$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$＞-1，t₂=$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$＜1，
此时函数在[-1，t₁]上递增，在[t₁，t₂]上递减，在[t₂，1]上递增，
则M（a，b）=max{|2a-b+6|，|b|，|2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³+a-b+3|，|-2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³+a-b+3|}
则M（a，b）≥min{|a+3|，2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³}，
由|a+3|=2（$\sqrt{\frac{a+4}{3}}$）³得：a=-1，或a=-$\frac{13}{4}$，
当a=-1时，M（a，b）≥2，
当a=-$\frac{13}{4}$时，M（a，b）≥$\frac{1}{4}$，
故当a=-$\frac{13}{4}$，b=-$\frac{1}{4}$时，M（a，b）的最小值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是分类讨论思想，转化思想，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度较大．