Question

7．已知函数f（x）=x³-tx²+3x，若对于任意的a∈[2，4]，b∈（4，6]，函数f（x）在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{37}{4}$]
• B． （-∞，5]
• C． [5，+∞）
• D． [$\frac{37}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[2，6]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组．

解答 解：∵函数f（x）=x³-tx²+3x，f′（x）=3x²-2tx+3，
若对于任意的a∈[2，4]，b∈（4，6]，函数f（x）在区间[a，b]上单调递减，
则f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在[2，6]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12-4t+3≤0}\\{f′（6）=108-12t+3≤0}\end{array}\right.$，解得t≥$\frac{37}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．